Hlavní rysy matematiky 18. století a)
padfoot88
(semestrální práce)
Anotace:
Matematika v 18. století - infinitezimální počet, matematické teorie, využití matematiky v astronomii a fyzice. Velcí matematici 18. století ve Francii, Anglii a ve Švýcarsku a jejich nejslavnější díla. Vývoj matematiky v našich zemích.
Úvod:
Cílem této práce bylo vyhledat informace o matematice v 18. století, najít její hlavní rysy a zjistit, kdo byli nejvýznamnější matematici této doby.
V 18. století je hlavní pozornost matematiků soustředěna především na infinitezimální počet a jeho aplikace v mechanice.
Infinitezimální počet rozvíjeli tito matematici:
Leibnitz (1646-1716)
bratři Bernoulliové - Jakob (1654-1705) a (Johan 1667-1748)
Euler (1707-1783)
Lagrange (1736-1813)
Laplace (1749-1827).
V souvislosti s jejich prácí je zapotřebí také zmínit skupinu francouzských matematiků, k níž příslušeli zvláště Clairaut, d'Alambert a Maupertius, kteří byli také myšlenkově spřízněni s osvícenskými filosofy. K těmto matematikům patří také švýcarští vědci Lambert a Daniel Bernaulli.
Vědecká činnost se v 18. století hromadila především kolem akademií, vynikaly hlavně akademie pařížská, berlínská a petrohradská. Univerzitní výuka měla v této době ve vývoji matematiky jen nepodstatnou roli. Osvícenští panovníci v Evropě (např. Fridrich II. , Kateřina Veliká, Ludvík XV a Ludvík XVI) kolem sebe soustřeďovali učence. Tato záliba byla jednak typem duševního snobismu, ale současně si tito panovníci uvědomovali význam aplikované matematiky a přírodovědy pro zlepšení výroby a zdokonalení vojenské techniky. Například francouzské námořnictvo prý bylo výborné při konstrukci fregat a jiných lodí, protože se stavitelé řídili matematickou teorií. I astronomie měla nadále důležitou roli, přinášela podněty pro matematický výzkum.
Švýcarská Basilej (od r. 1263 svobodné říšské město) byla dlouho centrem učenosti. Stejně jako v Holandsku, také i v Basileji vzkvétaly věda a umění pod patronací obchodního patriciátu. K tamnímu patriciátu patřila rodina Bernoulliů, která tam v 17. století přesídlila z Antverp podrobených Španěly.
V dějinách vědy asi nenajdeme podobný případ, aby tolik generací jedné rodiny dosáhlo takových vědeckých výsledků. První vynikající výsledky přinesli bratři Jacob a JohanBernoulliové. Jacob studoval nejdříve teologii a Johan lékařství. Když si v časopise "Acta eruditorum" zaměřeném na matematiku přečetli Leibnitzovy práce, rozhodli se oba stát matematiky. Byli prvními významnými Leibnitzovými žáky. Jacob byl od roku 1687 až do své smrti profesorem matematiky na universitě v Basileji. Johan se stal profesorem v roce 1697 na universitě v Groningenu a v roce 1705, po smrti svého bratra Jacoba, přešel pracovat do Basileje.
Leibnitz i bratři Bernoulliové vedli navzájem matematickou korespondenci. Hlavními výsledky Jacobova studia jsou: použití polárních souřadnic, studium některých křivek - například řetězovky studované již Huygensem, lemniskaty a logaritmické spirály, isochromy, Studium obrazců, které mají stejný obvod (tzv. izoperimetrické obrazce), vedlo k variačnímu počtu. Zabýval se také teorií pravděpodobnosti ve své knize Ars conjectandi, kde nalezneme Bernoulliův teorém o binomickém rozložení. Bernoulliovská čísla se v tomto pojednání objevují při diskusi Pascalova trojúhelníka.
Podobnými problémy se zabýval i jeho bratr Johan. Je často považován za objevitele variačního počtu, a to jen díky svému příspěvku k řešení problému brachystochromy. Studoval tuto křivku, po níž hmotný bod urazí v gravitačním poli vzdálenost mezi dvěma body, společně se svým bratrem a Leibnitzem v roce 1697. V této době nalezli také rovnice geodetických křivek na ploše. Výsledky obou bratrů jsou natolik propojené, že je lze jen stěží připisovat jednoznačně jen jednomu z nich.
Matematice se věnovali i Johanovi synové Mikuláš a Daniel Bernoulliové. Mikuláš byl povolán do Petrohradu. Z jeho pobytu je znám jeho "Petrohradský paradox" z teorie pravděpodobnosti. Mikuláš zemřel velmi mladý. Jeho bratr Daniel se však dožil vysokého věku. Po svém otci byl až do roku 1777 profesorem na univerzitě v Basileji. Jeho vědecká činnost byla rozsáhlá a zahrnovala astronomii, fyziku a hydromechaniku. Jeho Hydrodynamica vyšla roku 1738 a jedna z vět o hydraulickém tlaku nese jeho jméno. Vytvořil také teorii chvění strun. Jeho otec a strýc rozpracovávali teorii obyčejných diferenciálních rovnic, on začal pracovat v oboru parciálních diferenciálních rovnic.
Z Basileje pocházel i nejvýkonnější matematik 18. století a možná i všech dob Leonard Euler. Jeho otec byl stejně jako on matematikem, byl žákem Jakoba Bernoulliho. Leonard studoval matematiku u Johanna Bernoulliho. Po roce 1725 odcestoval do Petrohradu za Mikulášem Bernoullim a zůstal tam až do roku 1741. Euler působil v petrohradské akademii. V létech 1741-1766 pracoval v berlínské akademii pod záštitou Fridricha II. a od roku 1766 až do své smrti 1783 byl opět v Petrohradě. Byl dvakrát ženatý a měl 13 dětí. Věnoval se různým oblastem čisté i aplikované matematiky. I když v roce 1735 ztratil jedno a v roce 1766 i druhé oko, nemohlo to snížit jeho enormní výkonnost, neboť měl fenomenální paměť. Svoje objevy pak diktoval. Během svého života vydal 530 knih a různých článků. Spolu s rukopisy z jeho pozůstalosti se počet jeho prací zvýšil na 886. Euler přispěl důležitými objevy ke všem odvětvím matematiky, která existovala v jeho době.
V řadě oblastí matematiky je jeho podání téměř konečné, například trigonometrie. Velká Eulerova autorita ustálila symboliku algebry a infinitezimálního počtu, neboť třeba Lagrange, Laplace i Gauss znali jeho práce a přebírali jeho symboliku. Nejdůležitější z jeho prací je Introductio z roku 1748, je v ní velmi mnoho různých témat - nekonečné řady včetně rozvojů funkcí ex, sinx, cos x, je tam vztah eix = cos x + i sin x (nalezený již Johanem Bernoullim), jsou zde vyšetřovány křivky algebraickou metodou. Introductio můžeme považovat za první učebnici analytické geometrie. K nejdůležitějším částem knihy patří kapitola o ς-funkci a jejích vztazích k teorii prvočísel.
Některé další jeho učebnice jsou:
Institutiones calculi diferentialis z roku 1755
Institutiones calculi integralis - tři svazky z let 1768-1774
Tyto učebnice obsahují elementární diferenciální a integrální počet, teorii diferenciálních rovnic, Taylorovu větu a její aplikace, Eulerův "součtový" vzorec a Eulerovy integrály Г a В.
Mechanica, sine motus scientia analytice expozita z roku 1736 obsahuje newtonovskou dynamiku hmotného bodu zpracovanou analyticky.
Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum z roku 1765, v níž je vysvětlena mechanika pevného tělesa a obsahuje Eulerovu rovnici pro tělesa rotující kolem bodu.
Vollständige Einleitung zur Algebra z roku 1770, byla vzorem pro mnoho pozdějších učebnic algebry. Obsahuje i teorii kubických a bikvadratických rovnic.
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes z roku 1744, je prvním zpracováním variačního počtu a obsahuje Eulerovy diferenciální rovnice s mnoha aplikacemi.
Další Eulerovy výsledky najdeme v jeho menších pracích. K nejznámějším z nich patří Eulerova věta o konvexních mnohostěnech, Eulerova přímka v trojúhelníku, křivky konstantní křivosti a Eulerova konstanta C.
Je důležité nejen vyzdvihovat Eulerovy vědecké příspěvky, ale i vyznačit některé z jeho slabin. Mezi ně patřilo to, že zacházel, podobně jako řada dalších matematiků 18. století, neopatrně s nekonečnými procesy.
Protože z výrazů n + n2 + n3 + . . . = n/(1-n)
1 + 1/n + 1/n2 + . . . = n/(n-1)
usoudil, že platí 1/n2 + 1/n + 1 + n + n2 + n3 + . . . = 0
Zacházel také nesprávně s divergentními řadami, neboť neznal kritéria konvergence a divergence. V pořádku není ani jeho zdůvodnění infinitezimálního počtu.
Otázka základů infinitezimálního počtu zůstala předmětem sporů. Totéž platilo i o problematice týkající se nekonečných procesů. Mnich a profesor v Pize Guido Grandi, který je známý svým studiem růžic, považoval vztahy:
1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1 - (1 - 1) - (1 -)- ... = 1
= (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
= 1/2
za důkaz existence Boha, za symbol stvoření z ničeho. Výsledek 1/2 odvodil z této úvahy: Jestliže otec odkázal svým dvěma synům jeden drahokam s podmínkou, že každý z nich ho střídavě bude vlastnit 1 rok, pak prý každému synovi náleží 1/2 tohoto drahokamu.
Eulerovo zdůvodnění infinitezimálního počtu mělo sice své slabiny, ale jeho hledisko bylo bez nepřesností.
Komentáře
Okomentovat